Алгебрични фрактали

Основни понятия

Най-голямата група фрактали. Получават ги с помощта на нелинейни процеси в n-мерни пространства. Има няколко понятия, които са свързани с тези процеси: фазов портрет, атрактор и т.н.

Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко устойчиви състояния. Състоянието, в което се оказва динамичната система след някакво количество итерации, зависи от нейното начално състояние. Затова всяко устойчиво състояние (или атрактор) има някаква област от начални състояния, от които системата обезателно попада в разглежданите крайни състояния. По такъв начин фазовото пространство на системата се разбива на области на притегляне на атракторите. Ако фазово е двумерното пространство, то се оцветява областта на притегляне с различни цветове, може да се получи цветен фазов портрет на тази система (на итерациония процес). Изменяйки алгоритъма на избора на цвета, може да се получат сложни фрактални картини - причудливи и многоцветни. Неочаквана за математиците се появила възможността с помощта на примитивни алгоритми да се пораждат много сложни структури.

Детерминираните фрактали са линейни, но сложните фрактали са нелинейни. Тези фрактали се генеририра с това, което Манделброт наричал нелинейни алгебрични уравнения. Добър пример е процеса: zn+1 = zn2 + zo, което е уравнение, използвано за построяване на множеството на Манделброт и Жулия от втора степен. Може да се види, че, избирайки zo в някаква област и пускайки итерациите, няма да получим неограничено големи значения zn и оставаме в границите на определена област. Стартирайки от точка извън тази област, неизбежно се устремяваме към безкрайност. Когато уравнението се интерпретира графически на комплексна плоскост, резултатът се оказва странна фигура, в която правите линии преминават в криви, появяват се, макар и не без деформации, ефекти на самоподобие на различни мащабни нива.

Повечето фрактали, които виждаме сега са красиво оцветени. Фракталните изображения са получили такова голямо естетическо значение именно благодарение на своите цветови схеми. След като уравнение е пресметнато, компютъра анализира резултатите. Ако резултататите остават стабилни, или се колебаят около определено значение, точката обикновено приема черен цвят. Ако значението на една или друга стъпка се стреми към безкрайността, точката се оцветява в друг цвят, може би в син или червен. По време на този процес, компютъра определя цвета за всички скорости на движение.

 

 

Обикновено, най-бързо движещите се точки се оцветяват в червен цвят, по-бавните в жълто и т.н. Тъмните точки, вероятно, са най-стабилните. Сложните фрактали изглеждат безкрайно сложни в сравнение с детерминираните, но могат да бъдат генерирани с много проста формула. За детерминираните фрактали не са нужни формули или уравнения. Всеки може да начертае решетката на Серпински до 3 или 4 итерация без никакви затруднения. Опитайте се да направите това с множеството на Жулиа! По-лесно е да се измери дължината на бреговата линия на Англия!

 

Комплексното множество на Манделброт 

 

Множествата на Манделброт и Жулиа, вероятно, са двата най-разпространени сред сложните фрактали. Множеството на Манделброт, което било построено от Беноа Манделброт, навярно е първата асоциация, възникваща у хората, когато чуят "фрактал". Този фрактал се генерира с простата формула zn+1 = znа + zo, където Z са комплексни числа и а — положително число. Множеството на Манделброт, което най-често може да се види е множеството на Манделброт от 2-ра степен, тоест а=2. Тук може да видите примери на множеството на Манделброт за различни значения на степенния показател а.

 

 

За да построим този знаменит фрактал итерациите се изпълняват за всяка стартова точка C в правоъгълна или квадратна област - подмножество на комплексната плоскост. Итерационият процес продължава дотогава, докато Z[i] не излезе извън границите на окръжност с радиус 2, центърът на която лежи в точката (0,0), (това означава, че атракторът на динамичната система се намира в безкрайността), или след достатъчно голям брой итераций (например 200-500) Z[i] започне да клони към някаква точка от окръжността. В зависимост от количеството итерации, в течениe на които Z[i] остава вътре в окръжността, може да се определи цвета на точка C (ако Z[i] остава вътре в окръжността в течение на достатъчно количество итерации, итерационния процес се прекратява и тази точка се оцветява в черно). Към множеството на Манделброт принадлежат точки, които в течение на безкраен брой итерации не клонят към безкрайност (черни точки). Точките, принадлежащи на границата множеството (именно там възникват сложни структури) клонят към безкрайност за крайно число итерации, а точките лежащи извън пределите на множеството, клонят към безкрайност след няколко итерации (бял фон).

 

Множество на Жулиа

 

 

Удивително е, че множеството Жулиа се образува по същата формула, както и множеството на Манделброт. Множеството Жулиа е открито през 1915 г. от френския математик Гастон Жулиа и наречено на негово име. При рисуването на фрактала като се използват различни начални точки (за да се започне процеса на итерации), се генерират различни изображения. Макар че е трудно да се забележи, фракталът на Манделброт е всъщност множество от фрактали на Жулиа, съединени заедно. Всяка точка (или координата) от множеството на Манделброта съответства на фрактала Жулиа. Множеството Жулиа може да се генерира като се използват тези точки в като начални значения в уравнението zn+1 = znа + zo. Но това не значи, че ако избере точка от фрактала на Манделброт и се увеличи, може да се получи фрактала Жулиа.





{START_COUNTER}